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笔记(二十二)需要等我找到上一本笔记本再说,暂时不知道扔到哪里去了...汗。届时补上。
这一章主要是讲的原型方法(prototype)和最近邻(KNN)。相对而言直觉更强,公式没那么复杂。
--------------------------笔记开始-------------------
1) 1-NN 最近邻居方法
最极端的情况:只找到最近的一位邻居。
数据集 D={ (xi,yi),1≤i≤N}
,输入 xi ,在 { xj,j≠i} 中找到与 xi 最近的邻居 xk ,输出 xk 对应的类标记 yk。
2) 类中心的方法
类中心: ck=1Nk∑yi=kxi,1≤k≤K
,相当于对于一群有着同样类标记的点,对x取平均。
输入: xi
,而后在所有类中心中与其最近的类中心 cl。
输出: cl
对应的类标记。
3) 对每个类可计算若干个“中心”(称之为原型或者样板,比如在每类中做聚类)。
输入: xi
,而后在所有类中心中与其最近的类中心 cl。
输出: cl
对应的类标记。
4) K-NN方法
输入: xi
,在 { xj,j≠i} 中找到与 xi最近的K个邻居。
输出: maxyk
(最多的那一类,从众原则的感觉)。
由于这一类方法都比较懒,所以称之为lazy learning methods.
1) 结果
设 P∗(e)
为Bayes分类器的错误概率(最优分类器); P¯(e)为1-NN分类器的错误概率。
则有:当样本数 N→∞
时, P∗(e)≤P¯(e)≤2P∗(e)。接下来会证明这个优良的性质。
2) 分类问题
给定 (x,y)
,则 P(x,y)=P(y)P(x|y)。
这里我们称 P(y=k)=πk
为先验分布, P(x|y=k)=fk(x)为类分布。从而
Pk(x)=P(y=k|x)=P(y=k,x)P(x)=P(y=k)P(x|y=k)∑kP(x,y)=πkfk(x)∑kπkfk(x)
,称之为后验概率。
3) Bayes分类器
x对应的 k=argmaxkPk(x)
,即使得后验概率最大的k。
所以, P∗(e|x)=P∗(y≠k∗|x)=1−P(y=k∗|x)=1−Pk∗(x)
,从 P∗(e)=Ex[P∗(e|x)]。
4) 1-NN分类器
1-NN输出的是离x最近的 x¯
对应的 y¯,则
P¯(e|x)=P(y≠y¯|x)=1−P(y=y¯|x)=∑Kk=1P(y=k,y≠y¯|x)=∑Kk=1P(y=k|x)P(k≠y¯|x,y=k)
。
由于 k≠y¯
只限训练集,而 y=k那部分只跟测试集有关,所以由独立性我们可以拆分为:
=∑Kk=1Pk(x)P(k≠y¯|x)
,则当 N→∞ 时, x→x¯ , y→y¯ ,上面一项可以收敛为 ∑Kk=1Pk(x)(1−Pk(x))=1−∑Kk=1P2k(x),为后验概率(条件误差)。
5)由于 P∗(e|x)=1−Pk∗(x)
,设 Pk∗ 为所有 Pk中最大的,则
P¯(e|x)=1−P2k∗−∑k≠k∗P2k≤1−P2k∗−1K−1(1−P2k∗)=2P∗(e|x)−P∗(e|x)2−1K−1P∗(e|x)2
6) P¯(e)=Ex[P¯(e|x)]=Ex[2P∗(e|x)−P∗(e|x)2−1K−1P∗(e|x)2]≤2P∗(e)−KK−1P∗(e)2≤2P∗(e)
。得证。
下一章会讲到聚类,然后就是降维了。
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